Encontrando las raíces de una función cuadrática: Intersección con el eje x

Mariam Letizia Reyes Rey febrero 12, 2023 7 min de lectura

Si estás estudiando matemáticas, es muy probable que ya hayas escuchado hablar de las funciones cuadráticas. Estas funciones tienen una gran importancia en diferentes áreas de la ciencia y la tecnología, y son especialmente útiles en la resolución de problemas que involucran la intersección de una curva con el eje x. En este artículo vamos a hablar sobre qué es una función cuadrática, cómo encontrar sus raíces y cómo interpretarlas.

Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado, es decir, una función de la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes reales. Esta función tiene una curva en forma de parábola, que puede abrir hacia arriba o hacia abajo dependiendo del valor de a.

Forma general de una función cuadrática

La forma general de una función cuadrática es f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son constantes reales. El coeficiente «a» determina la concavidad de la parábola, es decir, si esta se abre hacia arriba o hacia abajo. Si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba, mientras que si a es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

Representación gráfica de una función cuadrática

La representación gráfica de una función cuadrática es una curva en forma de parábola. La posición y forma de la parábola depende de los valores de los coeficientes a, b y c. Si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba, mientras que si a es negativo, la parábola se abre hacia abajo. El vértice de la parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, y su posición se puede encontrar utilizando la fórmula -b/2a.

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Cómo encontrar las raíces de una función cuadrática

Las raíces de una función cuadrática son los valores de x donde la curva de la función interseca el eje x. En otras palabras, son los valores de x que hacen que f(x) sea igual a cero. Hay dos métodos para encontrar las raíces de una función cuadrática: el método de factorización y la fórmula general.

Método de factorización

En el método de factorización, se busca factorizar la función cuadrática en dos expresiones lineales. Para hacer esto, se busca encontrar dos valores de x que sumados den como resultado el coeficiente «b» y multiplicados den como resultado el coeficiente «a*c». Una vez encontrados estos valores, se pueden escribir como dos expresiones lineales y resolver para x.

Fórmula general

La fórmula general para encontrar las raíces de una función cuadrática es x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a. Esta fórmula se obtiene al despejar x de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0 utilizando el método de completar el cuadrado. La fórmula general siempre da dos soluciones para x, que corresponden a las dos intersecciones de la curva con el eje x.

Cómo interpretar las raíces de una función cuadrática

Las raíces de una función cuadrática tienen un significado práctico importante en diferentes áreas de la ciencia y la tecnología. Dependiendo de sus valores, las raíces pueden dar información sobre la posición y la forma de una curva.

Raíces reales y distintas

Si las raíces de la función cuadrática son dos valores reales y distintos, esto significa que la parábola intersecta el eje x en dos puntos diferentes. En términos prácticos, esto puede indicar la existencia de dos soluciones posibles para un problema.

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Raíces reales e iguales

Si las raíces de la función cuadrática son dos valores reales e iguales, esto significa que la parábola intersecta el eje x en un solo punto. En términos prácticos, esto puede indicar la existencia de una solución única para un problema.

Raíces complejas conjugadas

Si las raíces de la función cuadrática son dos valores complejos conjugados, esto significa que la parábola no intersecta el eje x en ningún punto real. En términos prácticos, esto puede indicar la inexistencia de soluciones reales para un problema.

Aplicaciones de las funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas tienen una gran cantidad de aplicaciones prácticas en diferentes áreas de la ciencia y la tecnología.

Ejemplos en la vida cotidiana

Algunos ejemplos en la vida cotidiana incluyen la determinación de la altura máxima alcanzada por un objeto lanzado en el aire, la determinación del tiempo que tarda un objeto en caer al suelo desde una cierta altura, y la determinación del volumen máximo que puede contener un recipiente de forma cuadrática.

Ejemplos en distintas áreas de la ciencia

En la física, las funciones cuadráticas se utilizan para modelar el movimiento de objetos en el espacio. En la economía, se utilizan para modelar la oferta y la demanda de productos. En la ingeniería, se utilizan para modelar la resistencia de materiales y la eficiencia de sistemas.

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Conclusión

Las funciones cuadráticas son una herramienta matemática esencial en diferentes áreas de la ciencia y la tecnología. Encontrar las raíces de una función cuadrática es fundamental para resolver problemas prácticos, y su interpretación puede dar información valiosa sobre la posición y la forma de una curva.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una función cuadrática?

¿Cómo se representan gráficamente las funciones cuadráticas?

Las funciones cuadráticas se representan gráficamente mediante una curva en forma de parábola. La posición y forma de la parábola depende de los valores de los coeficientes a, b y c. Si a es positivo, la parábola se abre hacia arriba, mientras que si a es negativo, la parábola se abre hacia abajo.

¿Cuáles son los métodos para encontrar las raíces de una función cuadrática?

Los métodos para encontrar las raíces de una función cuadrática son el método de factorización y la fórmula general.