Resolviendo sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables: métodos y ejemplos prácticos

Mariam Letizia Reyes Rey junio 16, 2023 5 min de lectura

Si estás estudiando matemáticas, seguramente te has encontrado con sistemas de ecuaciones lineales. Estos sistemas son un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. Si tienes dos ecuaciones lineales con dos variables, es posible encontrar su solución utilizando varios métodos. En este artículo, te explicaremos tres métodos diferentes para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables: el método de sustitución, el método de igualación y el método de eliminación. Además, te presentamos ejemplos prácticos para que puedas entender mejor cómo funcionan estos métodos.

Método de sustitución

Explicación del método

El método de sustitución consiste en despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego sustituirla en la otra ecuación. De esta manera, tendrás una ecuación con una sola variable, que podrás resolver. Una vez que hayas encontrado el valor de una variable, podrás sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

Ejemplo práctico

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución:

2x + y = 5

x – y = 1

Primero, despejamos una de las variables. En este caso, despejaremos la variable «y» en la segunda ecuación:

y = x – 1

Luego, sustituimos este valor de «y» en la primera ecuación:

2x + (x – 1) = 5

Resolvemos la ecuación resultante:

3x – 1 = 5

3x = 6

x = 2

Ahora que conocemos el valor de «x», podemos sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de «y». Usaremos la segunda ecuación:

y = x – 1

y = 2 – 1

y = 1

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es: x = 2, y = 1.

Método de igualación

Explicación del método

El método de igualación consiste en despejar una de las variables en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones obtenidas. De esta manera, tendrás una ecuación con una sola variable, que podrás resolver. Una vez que hayas encontrado el valor de una variable, podrás sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

Ejemplo práctico

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de igualación:

2x + y = 5

x – y = 1

Primero, despejamos la variable «y» en ambas ecuaciones:

y = 5 – 2x

y = x – 1

Igualamos las dos expresiones:

5 – 2x = x – 1

Resolvemos la ecuación resultante:

3x = 6

x = 2

Ahora que conocemos el valor de «x», podemos sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de «y». Usaremos la primera ecuación:

2x + y = 5

2(2) + y = 5

y = 1

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es: x = 2, y = 1.

Método de eliminación

Explicación del método

El método de eliminación consiste en sumar o restar las dos ecuaciones de manera que una de las variables se elimine. De esta manera, tendrás una ecuación con una sola variable, que podrás resolver. Una vez que hayas encontrado el valor de una variable, podrás sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra variable.

Ejemplo práctico

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación:

2x + y = 5

x – y = 1

Sumamos las dos ecuaciones:

3x = 6

x = 2

Ahora que conocemos el valor de «x», podemos sustituirlo en cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar el valor de «y». Usaremos la segunda ecuación:

x – y = 1

2 – y = 1

y = 1

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es: x = 2, y = 1.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante matrices

Explicación del método

Otra forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales es utilizando matrices. En este método, se escribe el sistema de ecuaciones en forma matricial y se utiliza el álgebra matricial para encontrar la solución.

Ejemplo práctico

Vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando matrices:

2x + y = 5

x – y = 1

Escribimos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

[2 1 | 5]

[1 -1 | 1]

Aplicamos operaciones elementales de fila para reducir la matriz a su forma escalonada:

[1 0 | 2]

[0 1 | 1]

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es: x = 2, y = 1.

Conclusión

Como has podido ver, existen varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables. Cada método tiene sus ventajas y desventajas, y es importante conocerlos para poder elegir el más adecuado para cada situación. Aunque estos métodos pueden parecer complicados al principio, con práctica y dedicación se pueden convertir en herramientas muy útiles para resolver problemas matemáticos.

Preguntas frecuentes

¿Qué son los sistemas de ecuaciones lineales?

Los sistemas de ecuaciones lineales son un conjunto de ecuaciones que deben cumplirse simultáneamente. Cada ecuación es de primer grado (lineal) y tiene una o más variables.

¿Cuántos métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, como el método de sustitución, el método de igualación, el método de eliminación y la resolución mediante matrices.

¿Es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución?

Sí, es posible que un sistema de ecuaciones lineales no tenga solución. Esto ocurre cuando las ecuaciones son inconsistentes, es decir, cuando no hay ninguna solución que satisfaga todas las ecuaciones al mismo tiempo.

¿En qué situaciones es útil resolver sistemas de ecuaciones lineales?

Los sistemas de ecuaciones lineales se utilizan en muchas áreas de las matemáticas y la ingeniería, como en la resolución de problemas de física, la optimización de funciones y la planificación de recursos. También se utilizan en la programación y la informática para resolver problemas de lógica y algoritmos.