Entendiendo el dominio y la imagen de una función cuadrática: claves para su análisis y representación gráfica

Mariam Letizia Reyes Rey enero 26, 2023 6 min de lectura

Si estás estudiando matemáticas, es muy probable que te hayas topado con las funciones cuadráticas. Estas funciones son muy importantes en el mundo de las matemáticas y tienen aplicaciones en la vida cotidiana. En este artículo, te explicaremos qué es una función cuadrática, cómo se representa gráficamente y cómo se identifican su dominio y su imagen. Además, te mostraremos cómo resolver problemas prácticos a partir de una función cuadrática.

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es una función matemática que se puede escribir en la forma de f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y x es la variable independiente. Esta función es una parábola y su gráfica tiene una forma característica.

Definición y ejemplos

La función cuadrática se usa para modelar una gran variedad de situaciones, desde la trayectoria de un objeto en el aire hasta el costo de producción de un bien. Algunos ejemplos de funciones cuadráticas son:

• f(x) = x^2
• f(x) = -2x^2 + 4x – 5
• f(x) = 1/2x^2 + 3

¿Cómo se representa gráficamente una función cuadrática?

La gráfica de una función cuadrática tiene una forma característica de parábola. Para representar gráficamente una función cuadrática, es necesario conocer algunos elementos importantes de la gráfica.

Elementos de la gráfica: vértice, eje de simetría, dirección de apertura y puntos interceptados en los ejes

La gráfica de una función cuadrática tiene un vértice, que es el punto más alto o más bajo de la parábola. Además, tiene un eje de simetría que divide la parábola en dos partes iguales. La dirección de apertura de la parábola dependerá del valor del coeficiente a. Si a es positivo, la parábola se abrirá hacia arriba, mientras que si a es negativo, la parábola se abrirá hacia abajo. Por último, la gráfica de una función cuadrática interceptará el eje x en uno o dos puntos y el eje y en un punto.

¿Cómo se identifican el dominio y la imagen de una función cuadrática?

El dominio y la imagen de una función cuadrática son dos elementos importantes de la función. Es importante conocerlos para poder analizar la función y resolver problemas prácticos.

Explicación detallada y ejemplos

El dominio de una función cuadrática es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente x. En general, el dominio de una función cuadrática es el conjunto de todos los números reales. La imagen de una función cuadrática es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente y. La imagen dependerá del valor del coeficiente a. Si a es positivo, la imagen será mayor o igual al valor del vértice. Si a es negativo, la imagen será menor o igual al valor del vértice.

Algunos ejemplos de dominio e imagen de funciones cuadráticas son:

• f(x) = x^2, dominio = todos los números reales, imagen = y >= 0
• f(x) = -2x^2 + 4x – 5, dominio = todos los números reales, imagen = y <= -5/2
• f(x) = 1/2x^2 + 3, dominio = todos los números reales, imagen = y >= 3

¿Cómo se resuelven problemas prácticos a partir de una función cuadrática?

Las funciones cuadráticas tienen aplicaciones en la vida cotidiana, desde la física hasta la economía. Es importante saber cómo resolver problemas prácticos a partir de una función cuadrática.

Aplicaciones en la vida cotidiana y ejercicios resueltos

Algunas aplicaciones de las funciones cuadráticas son:

• Modelar la trayectoria de un objeto en el aire.
• Calcular el costo de producción de un bien.
• Calcular la cantidad de beneficios que se obtienen de la venta de un producto.

Un ejemplo de cómo resolver un problema práctico a partir de una función cuadrática es:

«Una pelota es lanzada desde una altura de 20 metros con una velocidad inicial de 10 metros por segundo. La altura de la pelota en función del tiempo está dada por la función cuadrática h(t) = -4.9t^2 + 10t + 20. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y cuánto tiempo tarda en alcanzarla?»

Para resolver este problema, es necesario encontrar el vértice de la parábola, que representa la altura máxima de la pelota. El vértice se encuentra en el punto (1.02, 25.1), lo que significa que la pelota alcanza una altura máxima de 25.1 metros después de 1.02 segundos.

Conclusión

Las funciones cuadráticas son muy importantes en las matemáticas y tienen aplicaciones en la vida cotidiana. Es importante saber cómo representar gráficamente una función cuadrática, cómo identificar su dominio y su imagen y cómo resolver problemas prácticos a partir de ella.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué diferencia hay entre una función cuadrática y una función lineal?

La principal diferencia entre una función cuadrática y una función lineal es que la función cuadrática tiene una forma de parábola, mientras que la función lineal tiene una forma de línea recta.

2. ¿Por qué es importante conocer el dominio y la imagen de una función cuadrática?

Es importante conocer el dominio y la imagen de una función cuadrática para poder analizar la función y resolver problemas prácticos.

3. ¿Cómo puedo saber si una función cuadrática tiene un mínimo o un máximo?

El vértice de la parábola representa el mínimo o el máximo de la función cuadrática.

4. ¿Cuál es la fórmula general de una función cuadrática y cómo se utiliza?

La fórmula general de una función cuadrática es f(x) = ax^2 + bx + c. Se utiliza para modelar una gran variedad de situaciones, desde la trayectoria de un objeto en el aire hasta el costo de producción de un bien.