Cómo calcular el determinante de una matriz 3×3 de manera sencilla y eficiente

Mariam Letizia Reyes Rey enero 11, 2023 5 min de lectura

Si te encuentras en un curso avanzado de matemáticas o ingeniería, es probable que ya hayas escuchado el término «determinante de una matriz». Si no estás familiarizado con este concepto, no te preocupes, en este artículo te explicaremos qué es y por qué es importante. Además, te mostraremos los métodos más utilizados para calcular el determinante de una matriz 3×3 de manera sencilla y eficiente.

¿Qué es el determinante de una matriz?

El determinante de una matriz es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Este número tiene un gran valor matemático, ya que se utiliza en diversas áreas como álgebra lineal, cálculo y física.

Definición matemática del determinante

El determinante de una matriz A se denota como det(A) y se calcula de la siguiente manera:

det(A) = a11b22c33 + a12b23c31 + a13b21c32 - a13b22c31 - a11b23c32 - a12b21c33

Donde a_ij representa el elemento de la fila i y columna j de la matriz A.

¿Por qué es importante calcular el determinante de una matriz?

El determinante de una matriz es importante porque nos permite conocer si una matriz tiene solución o no. En particular, si el determinante de una matriz es cero, entonces la matriz no tiene inversa y no se puede resolver mediante métodos tradicionales. Además, el determinante de una matriz también se utiliza para calcular áreas, volúmenes y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Métodos para calcular el determinante de una matriz 3×3

Existen varios métodos para calcular el determinante de una matriz 3×3, aquí te presentamos los más utilizados:

Método de Sarrus

Este método se utiliza para calcular el determinante de una matriz 3×3 de manera rápida y sencilla. Para utilizar este método, se debe escribir la matriz en forma de triángulo como se muestra a continuación:

• a₁₁
• a₂₁ a₂₂
• a₃₁ a₃₂ a₃₃
• a₁₁ a₂₂ a₃₃
• a₂₁ a₃₂ a₁₃
• a₃₁ a₁₂ a₂₃

Luego, se suman los productos de las diagonales de izquierda a derecha y se restan los productos de las diagonales de derecha a izquierda. El resultado es el determinante de la matriz.

Método de la Regla de Cramer

Este método se utiliza para calcular el determinante de una matriz 3×3 mediante el uso de determinantes más pequeños. Para utilizar este método, se debe escribir la matriz de la siguiente manera:

A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]

Luego, se calculan tres determinantes más pequeños, donde cada uno de ellos reemplaza la columna correspondiente de la matriz A por el vector de soluciones. El determinante de la matriz A se calcula como sigue:

det(A) = a11X1 + a21X2 + a31X3 - a12Y1 - a22Y2 - a32Y3 + a13Z1 + a23Z2 + a33Z3

Donde X, Y y Z son los determinantes más pequeños que se calculan a partir de la matriz A.

Método de la Eliminación Gaussiana

Este método se utiliza para calcular el determinante de una matriz 3×3 mediante la eliminación de elementos de la matriz. Para utilizar este método, se debe escribir la matriz de la siguiente manera:

A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]

Luego, se realizan operaciones elementales de fila para convertir la matriz A en una matriz triangular superior. El determinante de la matriz A se calcula como el producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz triangular superior.

Conclusión

Calcular el determinante de una matriz 3×3 es una tarea importante en el ámbito de las matemáticas y la ingeniería. Existen varios métodos para calcular el determinante, cada uno con sus propias ventajas y desventajas. Si necesitas calcular el determinante de una matriz, te recomendamos que pruebes los diferentes métodos y elijas el que mejor se adapte a tus necesidades.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una matriz 3×3?

Una matriz 3×3 es una matriz que tiene tres filas y tres columnas. En general, una matriz nxm tiene n filas y m columnas.

¿Qué pasa si el determinante de una matriz es cero?

Si el determinante de una matriz es cero, entonces la matriz no tiene inversa y no se puede resolver mediante métodos tradicionales.

¿Existen otros métodos para calcular el determinante de una matriz 3×3?

Sí, existen otros métodos para calcular el determinante de una matriz 3×3, como el método de Laplace y el método de la matriz adjunta.

¿Para qué se utiliza el determinante de una matriz en la vida real?

El determinante de una matriz tiene diversas aplicaciones en la vida real, por ejemplo, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, en la mecánica cuántica y en la geometría.