Cómo encontrar el vértice de una función cuadrática: fórmula y pasos a seguir

Mariam Letizia Reyes Rey abril 29, 2023 6 min de lectura

Si estás estudiando matemáticas, es muy probable que hayas tenido que trabajar con funciones cuadráticas en algún momento. Estas funciones son muy importantes en la resolución de problemas y en el análisis de datos. Uno de los conceptos clave para entender las funciones cuadráticas es el vértice, que es el punto donde la función alcanza su valor máximo o mínimo. En este artículo, te explicaremos qué es una función cuadrática, cuáles son sus características y cómo puedes encontrar el vértice de una función cuadrática.

¿Qué es una función cuadrática?

Definición

Una función cuadrática es una función matemática de la forma f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. La variable x es la variable independiente y f(x) es la variable dependiente. La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

Representación gráfica

La gráfica de una función cuadrática es una parábola que puede ser cóncava hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del valor de a. Si a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba, y si a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo. El vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección.

Características

Además del vértice, las funciones cuadráticas tienen otras características importantes que puedes utilizar para analizarlas y resolver problemas. Estas características incluyen el eje de simetría, el máximo o mínimo de la función, y el discriminante, que te permite saber si la función tiene raíces reales.

Pasos para encontrar el vértice de una función cuadrática

Encontrar el vértice de una función cuadrática puede parecer complicado al principio, pero en realidad se trata de seguir algunos pasos muy sencillos.

Paso 1: Identificar los valores a, b y c

El primer paso para encontrar el vértice de una función cuadrática es identificar los valores de a, b y c en la ecuación f(x) = ax² + bx + c. Estos valores te permitirán utilizar las fórmulas necesarias para encontrar el vértice.

Paso 2: Aplicar la fórmula para encontrar el eje de simetría

El segundo paso es utilizar la fórmula para encontrar el eje de simetría de la parábola. El eje de simetría es una línea vertical que divide la parábola en dos partes iguales. La fórmula para encontrar el eje de simetría es: x = -b/2a.

Paso 3: Sustituir el valor del eje de simetría en la función cuadrática

El tercer paso es sustituir el valor del eje de simetría que acabas de encontrar en la ecuación de la función cuadrática. Es decir, debes sustituir x por -b/2a en la ecuación f(x) = ax² + bx + c.

Paso 4: Obtener las coordenadas del vértice

Por último, debes simplificar la ecuación obtenida en el paso anterior para obtener las coordenadas del vértice. El vértice tiene la forma (h, k), donde h es el valor del eje de simetría y k es el valor de la función en ese punto. Es decir, k = f(-b/2a).

Ejemplos resueltos

Para entender mejor cómo se aplican estos pasos, vamos a ver algunos ejemplos resueltos.

Ejemplo 1: Encontrar el vértice de la función cuadrática f(x) = x² – 4x + 3.

Solución:

Paso 1: a = 1, b = -4, c = 3.
Paso 2: x = -(-4) / 2(1) = 2.
Paso 3: f(2) = 2² – 4(2) + 3 = -1.
Paso 4: El vértice es (2, -1).

Ejemplo 2: Encontrar el vértice de la función cuadrática g(x) = -2x² + 8x – 5.

Solución:

Paso 1: a = -2, b = 8, c = -5.
Paso 2: x = -8 / 2(-2) = 2.
Paso 3: f(2) = -2(2)² + 8(2) – 5 = 3.
Paso 4: El vértice es (2, 3).

Errores comunes al encontrar el vértice de una función cuadrática

Aunque el proceso para encontrar el vértice de una función cuadrática es bastante sencillo, es común cometer errores al realizar los cálculos. Algunos de los errores más comunes incluyen:

• Olvidar de dividir -b entre 2a para encontrar el eje de simetría.
• Cometer errores al simplificar la ecuación obtenida en el paso 3.
• Cometer errores al sustituir los valores en la ecuación.

Para evitar estos errores, asegúrate de seguir los pasos con cuidado y de revisar tus cálculos varias veces antes de dar por terminado el problema.

Conclusión

Encontrar el vértice de una función cuadrática es una habilidad muy útil para resolver problemas y analizar datos. Si sigues los pasos que te hemos explicado en este artículo, podrás encontrar el vértice de cualquier función cuadrática sin problema. Recuerda revisar tus cálculos con cuidado y practicar con varios ejemplos para asegurarte de que has entendido bien el proceso.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la fórmula general de una función cuadrática?

La fórmula general de una función cuadrática es f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.

¿Cómo se calcula el discriminante de una función cuadrática?

El discriminante de una función cuadrática es b² – 4ac. Este valor te permite saber si la función tiene raíces reales (si el discriminante es mayor o igual a cero) o no (si el discriminante es menor que cero).

¿Es posible que una función cuadrática no tenga vértice?

No, todas las funciones cuadráticas tienen un vértice, ya que se trata del punto donde la parábola cambia de dirección.

¿Cómo se relaciona el vértice de una función cuadrática con su gráfica?

El vértice es el punto donde la parábola cambia de dirección, por lo que se encuentra en el punto más alto o más bajo de la curva. Además, el vértice también es el punto donde la parábola intersecta el eje de simetría.