Calculando la velocidad al instante: cómo utilizar las derivadas para obtener resultados precisos

Mariam Letizia Reyes Rey mayo 3, 2023 6 min de lectura

¿Has oído hablar de las derivadas? Si te interesa el mundo de las matemáticas, seguramente sí. Pero, ¿sabes para qué sirven realmente? En este artículo te explicaremos cómo las derivadas pueden ayudarte a calcular la velocidad al instante y a entender la relación entre la posición, la velocidad y la aceleración.

¿Qué son las derivadas?

Las derivadas son una herramienta matemática que nos permite calcular la tasa de cambio instantánea de una función. Es decir, nos permiten saber cuánto cambia una función en un punto específico. Las derivadas se utilizan en muchos campos, desde la física hasta la economía y la ingeniería.

La definición formal de la derivada

La derivada de una función f(x) se define como el límite de la razón incremental cuando el intervalo de variación de x tiende a cero. En términos más sencillos, la derivada nos indica el cambio instantáneo de una función. Se representa matemáticamente como f'(x).

¿Para qué se utilizan las derivadas?

Las derivadas se utilizan en muchos campos, desde la física hasta la economía y la ingeniería. En física, por ejemplo, se utilizan para calcular la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento. En economía, se utilizan para maximizar el beneficio de una empresa. En ingeniería, se utilizan para optimizar el diseño de un sistema.

Cómo calcular la velocidad al instante

Ahora que sabemos qué son las derivadas y para qué se utilizan, veamos cómo podemos utilizarlas para calcular la velocidad al instante. Para ello, seguiremos los siguientes pasos:

Paso 1: Obtener la ecuación de la posición

En primer lugar, necesitamos obtener la ecuación de la posición del objeto en movimiento. Por ejemplo, si un objeto se mueve en línea recta, su ecuación de posición podría ser s(t) = 2t^2 + 3t + 1, donde s es la posición del objeto en función del tiempo t.

Paso 2: Derivar la ecuación de la posición

Una vez que tenemos la ecuación de la posición, necesitamos derivarla para obtener la ecuación de la velocidad. En nuestro ejemplo, la ecuación de la velocidad sería v(t) = s'(t) = 4t + 3.

Paso 3: Evaluar la derivada en el punto deseado

Finalmente, para obtener la velocidad al instante en un punto específico, simplemente evaluamos la ecuación de la velocidad en ese punto. Por ejemplo, si queremos saber la velocidad del objeto en el instante t=2, evaluamos la ecuación de la velocidad en ese punto: v(2) = 11 m/s.

¿Cómo se relacionan las derivadas con la velocidad y la aceleración?

Las derivadas no solo nos permiten calcular la velocidad al instante, sino que también nos ayudan a entender la relación entre la posición, la velocidad y la aceleración.

La relación entre la posición, la velocidad y la aceleración

La posición es la función original, la velocidad es la derivada de la posición y la aceleración es la segunda derivada de la posición. En términos matemáticos, podemos representar esta relación como:

s(t) -> v(t) -> a(t)

Donde -> indica que la derivada de la función anterior es la siguiente función.

Cómo utilizar las derivadas para obtener la aceleración

Para obtener la aceleración de un objeto en movimiento, simplemente derivamos la ecuación de la velocidad. En nuestro ejemplo anterior, la ecuación de la aceleración sería a(t) = v'(t) = 4 m/s^2.

Errores comunes al calcular la velocidad al instante

Aunque el proceso para calcular la velocidad al instante es relativamente sencillo, hay algunos errores comunes que debemos evitar.

No utilizar la notación adecuada

Es importante utilizar la notación adecuada al calcular derivadas. Por ejemplo, la derivada de la función f(x) se representa como f'(x), no como df/dx.

No simplificar antes de derivar

Antes de derivar una función, es importante simplificarla todo lo posible. De lo contrario, el proceso de derivación puede ser mucho más complicado y propenso a errores.

No evaluar la derivada correctamente

Cuando evaluamos una derivada en un punto específico, es importante tener en cuenta la notación adecuada. Por ejemplo, la velocidad en el instante t=2 se representa como v(2), no como v(t=2).

Conclusión

Las derivadas son una herramienta matemática muy útil que nos permite calcular la tasa de cambio instantánea de una función. En el caso de la física, nos permiten calcular la velocidad y la aceleración de un objeto en movimiento. Si quieres obtener resultados precisos al calcular la velocidad al instante, asegúrate de utilizar la notación adecuada, simplificar antes de derivar y evaluar la derivada correctamente.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la aceleración?

La aceleración se calcula derivando la ecuación de la velocidad. Es decir, si v(t) es la velocidad de un objeto en movimiento, la aceleración se calcula como a(t) = v'(t).

¿Qué es la notación de Leibniz?

La notación de Leibniz es una forma de representar las derivadas utilizando diferencias infinitesimales. Por ejemplo, la derivada de la función f(x) se representa como df/dx.

¿Por qué es importante calcular la velocidad al instante?

Calcular la velocidad al instante es importante en muchos campos, desde la física hasta la ingeniería. Nos permite conocer la velocidad exacta de un objeto en un momento específico, lo que puede ser crucial para tomar decisiones importantes.

¿Qué es la regla de la cadena?

La regla de la cadena es una herramienta matemática que nos permite derivar funciones compuestas. Es decir, nos permite derivar funciones que están compuestas por otras funciones. Se utiliza en muchos campos, desde la física hasta la economía y la ingeniería.