La derivada de la raíz cuadrada de 3: cómo calcularla paso a paso

Mariam Letizia Reyes Rey febrero 15, 2023 6 min de lectura

Si estás estudiando cálculo, es muy probable que te hayas topado con el concepto de derivada. La derivada es una herramienta fundamental en el análisis matemático, ya que permite calcular la tasa de cambio instantánea de una función en un punto determinado. En este artículo, te explicaremos qué es la derivada y cómo calcularla paso a paso, utilizando como ejemplo la función de la raíz cuadrada de 3.

¿Qué es la derivada?

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia dicha función en un punto determinado. Formalmente, la derivada de una función f(x) en el punto x=a se define como el límite de la razón incremental cuando el intervalo de incremento se acerca a cero. En términos más simples, podemos decir que la derivada nos dice cuánto cambia una función cuando cambia su variable independiente en una cantidad muy pequeña.

Definición de la derivada

La derivada de una función f(x) en el punto x=a se denota por f'(a) y se define como:

f'(a) = lim (h→0) [f(a + h) – f(a)]/h

donde h es un número muy pequeño que se acerca a cero.

Reglas básicas de la derivación

Hay varias reglas básicas que se utilizan para calcular la derivada de una función. Estas reglas se aplican a funciones elementales como las constantes, las potencias, las funciones trigonométricas y las funciones exponenciales y logarítmicas. Aquí te presentamos algunas de las reglas más comunes:

• La derivada de una constante es cero.
• La derivada de x^n es n*x^(n-1).
• La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada función.
• La derivada del producto de dos funciones es el primer término por la derivada del segundo término más el segundo término por la derivada del primer término.
• La derivada de la función exponencial e^x es e^x.
• La derivada de la función logarítmica ln(x) es 1/x.

Cálculo de la derivada de la raíz cuadrada de 3

Ahora que ya sabemos qué es la derivada y cuáles son las reglas básicas de la derivación, vamos a calcular la derivada de la función de la raíz cuadrada de 3. La función que queremos derivar es:

f(x) = √3x

Paso 1: Escribir la función en forma de potencia fraccionaria

Para poder aplicar la regla de la cadena, primero debemos escribir la función en forma de potencia fraccionaria. La raíz cuadrada de 3x se puede escribir como (3x)^(1/2), por lo que la función f(x) se puede reescribir como:

f(x) = (3x)^(1/2)

Paso 2: Aplicar la regla de la cadena

La regla de la cadena nos dice que la derivada de una función compuesta se calcula como el producto de la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior. En nuestro caso, la función exterior es la potencia fraccionaria y la función interior es 3x. Por lo tanto, la derivada de f(x) se puede calcular como:

f'(x) = (1/2)*(3x)^(-1/2)*3

Paso 3: Simplificar y encontrar la derivada

Para simplificar la derivada, podemos reescribir (3x)^(-1/2) como 1/(2√3x). Por lo tanto, la derivada de f(x) es:

f'(x) = (1/2)*(3x)^(-1/2)*3 = (1/2)*(1/√3x)*3 = 3/(2√3x)

Por lo tanto, la derivada de la función f(x) = √3x es f'(x) = 3/(2√3x).

Ejemplos prácticos

Veamos ahora algunos ejemplos prácticos de cómo calcular la derivada de funciones que involucran la raíz cuadrada.

Ejemplo 1: Encontrar la derivada de f(x) = √3x

Ya hemos visto cómo se calcula la derivada de esta función en el apartado anterior. La derivada de f(x) es f'(x) = 3/(2√3x).

Ejemplo 2: Encontrar la derivada de g(x) = √(3x + 1)

Para calcular la derivada de esta función, debemos aplicar la regla de la cadena. La función exterior es la raíz cuadrada y la función interior es 3x + 1. Por lo tanto, la derivada de g(x) se puede calcular como:

g'(x) = (1/2)*(3x + 1)^(-1/2)*3 = 3/(2√(3x + 1))

Por lo tanto, la derivada de la función g(x) = √(3x + 1) es g'(x) = 3/(2√(3x + 1)).

Conclusión

Calcular la derivada de una función es un proceso fundamental en el análisis matemático. En este artículo, hemos visto qué es la derivada, cuáles son las reglas básicas de la derivación y cómo calcular la derivada de la función de la raíz cuadrada de 3. Además, hemos visto algunos ejemplos prácticos de cómo calcular la derivada de funciones que involucran la raíz cuadrada. Esperamos que esta información te sea útil en tus estudios de cálculo.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es la regla de la cadena y cómo se aplica en la derivación?

La regla de la cadena es una regla que se utiliza para calcular la derivada de una función compuesta. La regla establece que la derivada de una función compuesta se calcula como el producto de la derivada de la función exterior por la derivada de la función interior.

2. ¿Cuál es la diferencia entre la derivada y la derivada parcial?

La derivada es una medida de la tasa de cambio instantánea de una función en un punto determinado, mientras que la derivada parcial es una medida de la tasa de cambio instantánea de una función de varias variables respecto a una de esas variables, manteniendo las demás constantes.

3. ¿Por qué es importante saber calcular la derivada?

La derivada es una herramienta fundamental en el análisis matemático, ya que permite calcular la tasa de cambio instantánea de una función en un punto determinado. La derivada se utiliza en campos como la física, la ingeniería, la economía y las ciencias biológicas, entre otros.

4. ¿Existen fórmulas generales para calcular la derivada de todas las funciones?

No existen fórmulas generales para calcular la derivada de todas las funciones. Sin embargo, existen reglas básicas que se aplican a funciones elementales como las constantes, las potencias, las funciones trigonométricas y las funciones exponenciales y logarítmicas. Para funciones más complejas, se utilizan técnicas como la regla de la cadena, la regla del producto y la regla de la suma.