Cálculo de la longitud de un arco: fórmulas y ejemplos prácticos

Mariam Letizia Reyes Rey marzo 24, 2023 5 min de lectura

Si alguna vez has necesitado medir la longitud de una curva, seguro que te has encontrado con la dificultad de hacerlo de forma precisa. Afortunadamente, existe una herramienta matemática que nos permite calcular la longitud de un arco con gran precisión. En este artículo, te explicaremos qué es un arco, cómo se calcula su longitud y te mostraremos varios ejemplos prácticos para que puedas aplicar estos conceptos en tu vida cotidiana.

¿Qué es un arco?

Definición

En geometría, un arco es una porción continua de una curva. Podemos decir que un arco es una línea curva que une dos puntos de una figura geométrica. El arco se puede medir mediante su longitud, que es la distancia entre los dos puntos que delimitan el arco.

Características

– Los arcos pueden pertenecer a diferentes figuras geométricas, como circunferencias, elipses, parábolas o hipérbolas.
– La longitud de un arco depende de la figura geométrica a la que pertenece y de la amplitud del ángulo que abarca.
– Para calcular la longitud de un arco, es necesario conocer la fórmula correspondiente a la figura geométrica y el ángulo que abarca.

Fórmulas para calcular la longitud de un arco

Arco de una circunferencia

La fórmula para calcular la longitud de un arco de una circunferencia es: L = r * θ, donde L es la longitud del arco, r es el radio de la circunferencia y θ es el ángulo que abarca el arco en radianes.

Arco de una elipse

La fórmula para calcular la longitud de un arco de una elipse es un poco más compleja que la de una circunferencia. Se puede aproximar mediante la siguiente fórmula: L = π(a+b) [1 + (3h/10 + 4G/10 – G^2/4)sin^2(α/2)], donde L es la longitud del arco, a y b son los semiejes de la elipse, h es la diferencia entre los semiejes, G es el punto de máxima distancia entre los focos y α es el ángulo que abarca el arco.

Arco de una parábola

La fórmula para calcular la longitud de un arco de una parábola es: L = (2/3)a, donde L es la longitud del arco y a es el parámetro de la parábola.

Arco de una hipérbola

La fórmula para calcular la longitud de un arco de una hipérbola es: L = a(θ – senθ), donde L es la longitud del arco, a es la distancia entre el centro y el vértice de la hipérbola y θ es el ángulo que abarca el arco en radianes.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1: Cálculo de la longitud de un arco de circunferencia

Supongamos que tenemos una circunferencia de radio 5 cm y un ángulo central de 60 grados. Para calcular la longitud del arco, utilizamos la fórmula L = r * θ, donde r = 5 cm y θ = 60 grados = π/3 radianes. Por lo tanto, L = 5 cm * π/3 = 5.24 cm.

Ejemplo 2: Cálculo de la longitud de un arco de elipse

Supongamos que tenemos una elipse con semiejes a = 6 cm y b = 4 cm, y un ángulo central de 120 grados. Para calcular la longitud del arco, utilizamos la fórmula L = π(a+b) [1 + (3h/10 + 4G/10 – G^2/4)sin^2(α/2)], donde h = a-b = 2 cm, G = √(a^2-b^2) = 2√5 cm y α = 120 grados = 2π/3 radianes. Sustituyendo los valores, obtenemos L = 23.75 cm.

Ejemplo 3: Cálculo de la longitud de un arco de parábola

Supongamos que tenemos una parábola con parámetro a = 3 cm. Para calcular la longitud del arco, utilizamos la fórmula L = (2/3)a. Por lo tanto, L = 2 cm.

Ejemplo 4: Cálculo de la longitud de un arco de hipérbola

Supongamos que tenemos una hipérbola con distancia entre el centro y el vértice a = 5 cm y un ángulo central de 45 grados. Para calcular la longitud del arco, utilizamos la fórmula L = a(θ – senθ), donde θ = 45 grados = π/4 radianes. Por lo tanto, L = 5 cm * (π/4 – sen(π/4)) = 4.78 cm.

Conclusión

Como has podido ver, el cálculo de la longitud de un arco es una herramienta matemática muy útil que nos permite medir con precisión la longitud de una curva. Conociendo las fórmulas correspondientes a cada figura geométrica, podemos calcular la longitud de un arco con facilidad. Esperamos que este artículo te haya sido útil y te animamos a poner en práctica estos conocimientos en tu vida cotidiana.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es la longitud de un arco?

La longitud de un arco es la distancia entre los dos puntos de una curva que delimitan el arco.

2. ¿Cómo se calcula la longitud de un arco de una circunferencia?

La fórmula para calcular la longitud de un arco de una circunferencia es L = r * θ, donde L es la longitud del arco, r es el radio de la circunferencia y θ es el ángulo que abarca el arco en radianes.

3. ¿Cuál es la fórmula para calcular la longitud de un arco de una elipse?

La fórmula para calcular la longitud de un arco de una elipse es L = π(a+b) [1 + (3h/10 + 4G/10 – G^2/4)sin^2(α/2)], donde L es la longitud del arco, a y b son los semiejes de la elipse, h es la diferencia entre los semiejes, G es el punto de máxima distancia entre los focos y α es el ángulo que abarca el arco.

4. ¿Es posible calcular la longitud de un arco de una curva irregular?

En teoría, es posible calcular la longitud de un arco de una curva irregular, pero en la práctica puede resultar muy complicado. En estos casos, se recomienda utilizar métodos numéricos para aproximar la longitud del arco.