Cómo calcular el determinante de una matriz 3×3: Guía práctica y fácil de entender

Mariam Letizia Reyes Rey febrero 20, 2023 6 min de lectura

Si estás estudiando álgebra lineal o simplemente necesitas entender cómo se calcula el determinante de una matriz 3×3, has llegado al lugar correcto. En este artículo, te explicaremos de manera sencilla y clara qué es el determinante de una matriz, cómo se calcula y para qué sirve. Además, te mostraremos ejemplos prácticos para que puedas comprender mejor este concepto matemático.

¿Qué es el determinante de una matriz?

El determinante de una matriz es un número que se puede calcular a partir de los elementos de la matriz. Es una medida de la forma en que los vectores se transforman cuando se aplica la matriz. En otras palabras, el determinante nos da información sobre cómo se comporta una matriz ante ciertas operaciones.

Definición y conceptos básicos

El determinante de una matriz se denota como |A| y se calcula a partir de los elementos de la matriz A. Para una matriz 3×3, el determinante se calcula de la siguiente manera:

|A| = a₁₁(a₂₂a₃₃ – a₂₃a₃₂) – a₁₂(a₂₁a₃₃ – a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ – a₂₂a₃₁)

Donde a_ij es el elemento de la matriz A en la fila i y la columna j.

¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 3×3?

Existen diferentes métodos para calcular el determinante de una matriz 3×3, pero en este artículo te explicaremos dos de los más comunes: el método de Sarrus y el método de cofactores.

Método de Sarrus

El método de Sarrus es una técnica sencilla para calcular el determinante de una matriz 3×3. Consiste en escribir los elementos de la matriz en un triángulo de la siguiente manera:

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

Luego, se traza una línea diagonal hacia abajo a la derecha y se multiplican los elementos que están sobre esta línea. Después, se traza otra línea diagonal hacia abajo a la izquierda y se multiplican los elementos que están sobre esta línea. Finalmente, se restan las dos multiplicaciones anteriores para obtener el determinante:

|A| = (a₁₁ a₂₂ a₃₃ + a₂₁ a₃₂ a₁₃ + a₃₁ a₁₂ a₂₃) – (a₁₃ a₂₂ a₃₁ + a₂₃ a₃₂ a₁₁ + a₃₃ a₁₂ a₂₁)

Cofactores

El método de cofactores es un poco más complejo que el método de Sarrus, pero es más general y se puede utilizar para matrices de cualquier tamaño. Consiste en calcular los cofactores de cada elemento de la matriz, que se definen como el determinante de la submatriz obtenida eliminando la fila y la columna de dicho elemento. Luego, se multiplican los elementos de la primera fila de la matriz original por sus respectivos cofactores y se suman los resultados.

|A| = a₁₁C₁₁ – a₁₂C₁₂ + a₁₃C₁₃

Donde C_ij es el cofactor del elemento a_ij.

¿Para qué sirve el determinante de una matriz?

El determinante de una matriz tiene múltiples aplicaciones en matemáticas y en otras áreas, como la física, la ingeniería y la economía. Algunas de sus aplicaciones más comunes son:

– Determinar si una matriz es invertible o no.
– Calcular la matriz inversa de una matriz.
– Resolver sistemas de ecuaciones lineales.
– Encontrar áreas y volúmenes.
– Calcular la energía potencial en campos vectoriales.

Propiedades del determinante de una matriz

El determinante de una matriz tiene varias propiedades interesantes que son útiles para simplificar su cálculo y para entender su comportamiento ante ciertas operaciones.

Propiedad multiplicativa

Si A y B son dos matrices n x n, entonces |AB| = |A||B|. En otras palabras, el determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de cada una de las matrices.

Propiedad aditiva

Si A y B son dos matrices n x n que difieren en una sola fila o columna, entonces |A + B| = |A| + |B|. En otras palabras, el determinante de la suma de dos matrices es igual a la suma de los determinantes de cada una de las matrices.

Propiedad de la matriz inversa

Si A es una matriz invertible, entonces su determinante es diferente de cero y |A^-1| = 1/|A|. En otras palabras, el determinante de la matriz inversa es igual al inverso del determinante de la matriz original.

Ejemplos prácticos de cálculo del determinante de una matriz 3×3

Para que puedas entender mejor cómo se calcula el determinante de una matriz 3×3, te mostramos algunos ejemplos prácticos:

Ejemplo 1:

| 2 3 1 |

| 4 0 -2 |

| 1 -1 3 |

Usando el método de Sarrus:

|A| = (2*0*3 + 4*(-1)*1 + 1*3*(-2)) – (1*0*1 + 2*(-1)*(-2) + 3*4*1) = -26

Usando el método de cofactores:

|A| = 2*(-2) – 3*(-4) + 1*4 = -26

Ejemplo 2:

| 1 2 3 |

| 0 1 4 |

| 5 6 0 |

Usando el método de Sarrus:

|A| = (1*1*0 + 0*6*3 + 5*2*4) – (3*1*5 + 0*2*0 + 1*6*1) = -57

Usando el método de cofactores:

|A| = 1*(-24) – 2*(-20) + 3*6 = -57

Conclusión

Como has podido ver, calcular el determinante de una matriz 3×3 puede parecer complicado al principio, pero con un poco de práctica y comprensión de los métodos, se puede hacer de manera sencilla. Esperamos que esta guía te haya sido útil y que puedas aplicar estos conceptos en tus estudios o en tu trabajo.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 2×2?

Para una matriz 2×2, el determinante se calcula de la siguiente manera:

|A| = a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁

¿Qué pasa si el determinante de una matriz es cero?

Si el determinante de una matriz es cero, significa que la matriz no es invertible. En otras palabras, no existe una matriz inversa para esa matriz.

¿Cómo se calcula la matriz inversa?

Para calcular la matriz inversa de una matriz A, se debe seguir el siguiente procedimiento:

1. Calcular el determinante de la matriz A.
2. Calcular la matriz de cofactores de la matriz A.
3. Transponer la matriz de cofactores.
4. Dividir la matriz transpuesta de cofactores por el determinante de A.

¿Cómo se calcula el determinante de una matriz 4×4?

Existen diferentes métodos para calcular el determinante de una matriz 4×4, pero el más común es el método de cofactores. Consiste en calcular los cofactores de cada elemento de la matriz, que se definen como el determinante de la submatriz obtenida eliminando la fila y la columna de dicho elemento. Luego, se multiplican los elementos de la primera fila de la matriz original por sus respectivos cofactores y se suman los resultados.